組合せ : n個の異なるものの中からr個をとる取り方。

それらの総数を　_nC_r（C は combination の頭文字）と書く。このとき

nCr = nPr / r! 　　 　　　 = n! / (n-r)!r!

が成り立つ。もちろん、n ≧ r である。さらに、 0! = 1 から _nC₀ = 1, _nC_n = 1

考え方　ｒ個の取り方が　ｘ通りあったとする。ある1組のr個から順列は、ｒ！通り作れる。
すると、r個とって並べる順列を考えると　_nP_r　通りの順列が作れるので、次の方程式が成り立つ。
x・ｒ！＝_nP_r したがって、求める組合せの総数は

x＝nPr／ｒ！

となる。

_nC_rの公式

考え方 : ｒ個取って来るのは、ｎ−ｒ個残してくるのと同じである。

nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr

考え方 : ｎ個の中の1個に印を付けて、特別扱いする。

ｒ個取る取り方は、その中に、この特別な1個が入っているか、入っていないかの2通りである。そこで

　・入っている場合が、_n-1C_r-1通りである。なぜなら、特別な1個を除いたｎ−１個の中からｒ−１を取ってきて、特別な１個を付け加えると、その特別な１個が必ず入ったｒ個を取り出したことになる。

　・入っていない場合は、_n-1C_r通りである。なぜなら、特別な１個を除いたｎ−１個の中からｒ個取ってくれば、絶対にその特別な１個が入っていないｒ個を取り出したことになる。

二項定理